Dilyn y llwybr golygfaol drwy Fathemateg: atgofion Ronnie Brown

Professor Tim Porter FLSW

(Mae’r canlynol wedi’i addasu o ysgrif goffa i’w chyhoeddi yn y cyfnodolyn Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Categoriques, a fydd yn cynnwys rhestr lawn o gyhoeddiadau Ronnie, ynghyd â thrafodaeth fanylach o’i ymchwil fathemategol a gweithgareddau eraill.)

 Ganwyd Ronnie Brown ar 4 Ionawr 1935 i rieni a oedd yn genhedlaeth gyntaf o ymfudwyr i’r DU o Rwmania. Aeth Ronnie i Ysgol Alleyn, Dulwich, Llundain, ac yna enillodd le yng Ngholeg Newydd, Rhydychen, ym 1953. Yn Rhydychen, cyfarfu â Margaret, a oedd hefyd yn fyfyrwraig mathemateg. Priodasant ym 1958, ac yn ddiweddarach cawsant wyth o blant.

Ar ôl cwblhau ei radd israddedig yn Rhydychen, aeth Ronnie ymlaen i gael ei D.Phil., ym 1961, eto yn Rhydychen ym maes Topoleg Algebraidd a oedd yn dod i’r amlwg bryd hynny. Dangosodd pwnc ei draethawd ymchwil, ar ofodau ffwythiannau rhwng gofodau topolegol, sawl agwedd ar ddiddordebau ymchwil Ronnie yn y dyfodol, nid yn unig mewn topoleg algebraidd, ond hefyd yn yr hyn a welir bellach fel rhan o ochr gategorïaidd topoleg. Flynyddoedd lawer yn ddiweddarach, pan oedd Ronnie yn mynychu cyfarfod damcaniaeth categori rhyngwladol, cafodd ei synnu o ddarganfod bod y rhain, ei ddau bapur cyntaf, yn cael eu hystyried o bwys sylfaenol ar gyfer maes mawr o dopoleg gategorïaidd.

Yn ystod y cyfnod 1959 – 1964, roedd Ronnie yn Ddarlithydd Cynorthwyol yn gyntaf, ac yna’n Ddarlithydd, ym Mhrifysgol Lerpwl.  Yna daeth, o 1964 i 1970, yn Uwch Ddarlithydd, yna’n Ddarllenydd, ym Mhrifysgol Hull. Ym 1968, cyhoeddodd werslyfr, ‘Elements of Modern Topology‘, a fyddai’n dod yn ddylanwadol iawn, ar gyfer addysgu’r pwnc, ac ar gyfeiriad ymchwil Ronnie ei hun wedi hynny.  Adolygwyd y llyfr hwnnw sawl gwaith, gan ennill adrannau ychwanegol wrth i’r pwnc esblygu ymhellach.

Wrth ysgrifennu’r llyfr hwnnw, ac, fel y dywedodd yn ddiweddarach, ‘i egluro rhai pwyntiau penodol yn ymwneud â chyfrifo grŵp sylfaenol cylch’, y dechreuodd ymddiddori yn y gwrthrychau a elwir yn grwpoidau ac yn benodol mewn fersiwn grwpoid o theorem enwog van Kampen, a oedd yn hanfodol ar gyfer cyfrifo amrywiol sefydlynnau gofodau yn ogystal â chael goblygiadau pwysig mewn rhai meysydd o algebra. Awgrymodd proflenni ei fersiwn estynedig newydd iddo y gallai fod rhai estyniadau mwy diddorol o ddimensiwn uwch o’r theorem hwnnw a’r archwilio am y rhain oedd un o themâu canolog ymchwil Ronnie am lawer o’i oes.

 Ym 1970, symudodd Ronnie i Ogledd Cymru i ymgymryd â swydd Athro Mathemateg Bur yng Ngholeg Prifysgol Gogledd Cymru ar y pryd, rhan o Brifysgol Cymru. Symudodd y teulu i Ynys Môn, i Benllech, ac i dŷ ychydig bellter o’r traeth.

O 1974 ymlaen, dechreuodd Ronnie archwilio pwnc analogau dimensiwn uwch o theorem grwpoid van Kampen, gan weithio gyda Phil Higgins, yn wreiddiol o Goleg y Brenin Llundain, ac yn ddiweddarach ym Mhrifysgol Durham. Arweiniodd prif ran yr ymchwil hon, a barodd dros 20 mlynedd, at lyfr mawr, Non-abelian Homotopy Theory gyda Phil Higgins a Rafael Sivera. Archwiliodd hwn ryngweithiadau’r ddamcaniaeth newydd honno â themâu mwy clasurol eraill. Roedd hefyd yn cynnwys rhai syniadau, yn enwedig y rhai o amgylch strwythurau a elwir yn fodiwlau croes a’r hyn a ddaeth yn adnabyddus fel cymhlygion croes, a ddatblygwyd yn wreiddiol gan Henry Whitehead yn y 1940au a’r 50au o syniadau Whitehead a’r topolegwr o’r Almaen, Reidemeister, yn y 1930au, ond na wnaed defnydd ohonynt na’r astudiaeth rhwng y ddau gyfnod.

I Ronnie, roedd sgil-effeithiau diddorol iawn o astudio modiwlau croes a chymhlygion croes. Gyda chydweithwyr, archwiliodd waith cyn y rhyfel gan Reidemeister ar y maes a elwir yn theori grŵp cyfunol, sy’n ymdrin â ffyrdd o gyflwyno’r gwrthrychau algebraidd, a elwir yn grwpiau, gan ddefnyddio data cyfunol. Mae’r gwaith hwnnw wedi cael effaith ddofn ar y maes pwnc hwnnw.

Digwyddodd cydweithio pellach, (1983-87), unwaith eto o fewn y maes cyffredinol hwn o ‘theori grŵp dimensiwn uwch’, mewn cydweithrediad â Jean-Louis Loday o Strasbourg, ac roedd yn canolbwyntio ar ei fodelau ar gyfer yr hyn a elwir yn fathau-n homotopi, sy’n cyfateb i gwtogi rhai sefydlynnau o ofodau uwchlaw rhyw ddimensiwn (o bosibl yn uchel). Trwy theorem arddull van Kampen ar gyfer y modelau hyn, datgelodd y cydweithrediad fath newydd o adeiladwaith tebyg i gynnyrch sydd ar gael pan fydd dau grŵp (o bosibl yn anghymudol) yn gweithredu ar ei gilydd mewn ffordd gydnaws. Arweiniodd hyn at waith cydweithredol pellach ar agweddau mwy pur damcaniaethol grŵp ar y theori hon.

Er bod y maes hwnnw o ‘algebra dimensiwn uwch’ yn thema bwysig yn ymchwil Ronnie, o tua 1975 ymlaen, parhaodd hefyd i weithio ar themâu topolegol a geometrig mwy pur, gan ymestyn syniadau dau fathemategydd Ffrengig, Ehresmann a Pradines, i ganlyniadau ag agwedd geometrig fwy dadansoddol.

Yna ym 1982, ysgrifennodd Ronnie lythyr at y geometregydd Ffrengig enwog, Alexander Grothendieck, a dechreuodd hyn gyfnewid llythyrau ffrwythlon a chyfeillgar iawn a barhaodd tan 1991. Ei gymhelliant oedd gofyn i Grothendieck am ei ddiddordeb mewn syniadau o ∞-grwpoidau a ∞-gategorïau, sef fersiynau dimensiwn uwch o’r grwpoidau a’r categorïau yr oedd wedi bod yn eu defnyddio ers blynyddoedd lawer. Roedd rhai mathau o’r ∞-grwpoidau hyn yn cyfateb i’r cymhlygion croes yr oedd Ronnie wedi bod yn eu hastudio’n fanwl ers peth amser. Ysgogodd yr ohebiaeth hon Grothendieck i ddilyn rhai syniadau a oedd ganddo rai blynyddoedd ynghynt ac i ddechrau ar y set enwog hir, ond dylanwadol iawn, o nodiadau teipiedig o’r enw Pursuing Stacks, a gyhoeddwyd ar ffurf llyfr yn 2022 yn unig, ond a ddosbarthwyd yn wreiddiol o Fangor gyda chaniatâd Grothendieck, fel llungopi o’r deipysgrif wreiddiol. Roedd y modelau ar gyfer (rhai) gofodau yr oedd Ronnie yn eu cyflwyno yn grŵpiau a chategorïau ∞- llym, yn cyfateb i gymhlygion wedi’u croesi yn un o’u hamlygiadau. Felly nid oeddent yn ateb rhaglen ddychmygol ehangach Grothendieck yn llawn, a oedd angen rhyw fath wannach o grŵpiau ∞ i drin pob math o homotopi. Fodd bynnag, fe’u gwelwyd yn cynrychioli cam canolradd pwysig rhwng y fethodoleg dopolegol algebraidd glasurol a gweledigaeth y ddamcaniaeth a gynigiwyd gan Grothendieck a oedd yn anelu at fodelu pob gofod trwy ryw fath o grŵpiau ∞- gwan.

Byddwn yn dychwelyd at ddiddordebau ymchwil Ronnie yn ddiweddarach, ond nawr rhaid ystyried ei effaith ar agweddau eraill ar y maes pwnc, ac yma ni fyddai’n gywir hepgor ei waith mewn poblogeiddio nac ar arloesi addysgu.

Mae cyfraniad Ronnie at boblogeiddio mathemateg yn adnabyddus. Oddeutu 1985, gyda grŵp o gydweithwyr a chymorth ysgolion lleol yng Ngogledd Orllewin Cymru, cychwynnodd gyfres o Ddosbarthiadau Meistr Mathemategol i Bobl Ifanc yn yr ardal, dan nawdd Sefydliad Brenhinol Prydain Fawr. Arweiniodd hyn at ddatblygu deunydd ym Mangor a gynlluniwyd i helpu yn rhai o’r sesiynau Dosbarth Meistr hynny, a hefyd at baratoi set o fyrddau arddangos ar thema ‘Mathemateg a Chlymau’ i’w defnyddio wrth roi sgyrsiau yn y dosbarthiadau meistr, ac, yn gynyddol, mewn mannau eraill.

Yn gyflym iawn, byddai’r prosiect hwn yn caffael cydran arall.  Fel y dywedodd Ronnie: ‘Un diwrnod ym mis Mai 1985, roeddwn i’n cerdded i lawr Stryd Albermarle o gyfarfod ar ddosbarthiadau meistr yn y Sefydliad Brenhinol. Wrth i mi basio Oriel Freeland, … a chyda rhywfaint o amser i’w sbario, penderfynais grwydro i mewn, wedi fy swyno gan y cerfluniau o blant ac anifeiliaid a ddangoswyd yn y ffenestr. Er syndod imi, des i o hyd i rai cerfluniau cwlwm cryf a hardd eu crefft hefyd‘. Felly dechreuodd cydweithio a chyfeillgarwch rhwng Ronnie a’r cerflunydd, John Robinson, ac ehangu cwmpas gwaith poblogeiddio Ronnie ar y thema ‘Sut mae Mathemateg yn mynd i mewn i Glymau’. Arweiniodd hyn at gyfranogiad Bangor yn y Sioe Deithiol Mathemateg Bop, ac mewn prosiect pan-Ewropeaidd ar Godi Ymwybyddiaeth y Cyhoedd o Fathemateg ar gyfer Wythnos Wyddoniaeth Genedlaethol Ewrop, 2000. Roedd hyn yn cynnwys llawer o ryngweithio hwyliog gyda llawer o bobl ddiddorol … a llawer o feddwl a gwaith caled gan y tîm ym Mangor!

Yn rhannol o ganlyniad i weithio gyda’r myfyrwyr iau yn y dosbarthiadau meistr, a chyda’r cyhoedd yn gyffredinol trwy ddarlithoedd poblogaidd a’r arddangosfa, dechreuodd Ronnie, gyda mi ac eraill, feddwl am gyd-destun y fathemateg a oedd yn cael ei dysgu i’n myfyrwyr ein hunain. Sylweddolon ni, er enghraifft, nad oedd hyd yn oed ein myfyrwyr ein hunain yn ymwybodol iawn bod mathemateg newydd yn cael ei darganfod / ei chreu drwy’r amser, na sut roedd hynny’n cael ei wneud. I newid hyn, fe wnaethon ni ddatblygu math newydd o gwrs i ffurfio rhan o’r radd mathemateg. Galwyd hwn yn ‘Mathemateg mewn Cyd-destun’. Roedd yr arddull yn anffurfiol iawn. Trafodwyd materion hanesyddol, diwylliannol a gwyddonol, a chawsom fewnbwn ac adborth da a diddorol iawn gan y myfyrwyr. Roedd y sesiynau’n bleserus iawn ac, yn gyffredinol, cawsant dderbyniad da iawn gan y myfyrwyr a, phan gwblhawyd yr asesiad, gan yr arholwyr allanol ar gyfer y radd.

Roedd y syniad o ychwanegu ‘cyd-destun’ yn benodol i gyrsiau yn rhyngweithio â thrafodaethau ar fethodoleg mathemateg o fewn y sesiynau. Cyhoeddwyd fersiynau printiedig o rai o’r trafodaethau hynny mewn cyfnodolion mewn gwahanol wledydd ac ieithoedd gan eu bod yn ymddangos yn ddefnyddiol gyda llawer o bobl.

 Dechreuodd y pwyslais hwn ar fethodoleg, ac ar wneud ymchwil yn fwy hygyrch, gael ei adborthi i ymchwil Ronnie ei hun.  Roedd yn golygu bod ganddo syniad clir iawn ar sut i esbonio syniadau methodolegol i bobl nad ydynt yn fathemategwyr, gan bontio’r bwlch amlwg rhwng y safbwynt mathemategol a safbwyntiau gwyddonwyr eraill yn rhannol.

Drwy gydol ymchwil Ronnie, mae rhai themâu sy’n codi dro ar ôl tro, ac mae’r rhain hefyd yn treiddio canghennau eraill o wyddoniaeth. Un o’r rhain yw’r syniad o ‘lleol i fyd-eang’, felly sut mae gwybodaeth ‘leol’ am wrthrych yn cyfuno i roi gwybodaeth fyd-eang. Un arall, sydd bron yn groes i hynny, oedd y syniad bod ‘isrannu yn wrthdro i gyfansoddiad’. I Ronnie, roedd y paradeim lleol i fyd-eang yn cael ei enghreifftio gan y gwahanol strwythurau algebraidd uwch a dyfodd allan o’r ymgais i gyffredinoli theorem van Kampen. Fodd bynnag, roedd yr agwedd leol i fyd-eang honno hefyd yn rhoi cipolwg ar wahanol gwestiynau athronyddol a gwyddonol, a oedd yn ddarluniadol o fethodoleg mathemateg, er enghraifft cwestiynau haniaethu, modelu sefyllfaoedd geometrig trwy algebra, a datblygu cysyniadau newydd.

Mewn trafodaethau, sylweddolodd sut roedd rhai o’r problemau paradigmatig hyn yn bwysig mewn rhai meysydd eraill diddorol iawn. Mewn cyfrifiadureg, er enghraifft, roedd y broblem leol i fyd-eang yn rhyngweithio â syniadau ar gyfrifiadura cydamserol, tra bod syniadau ar ‘gyfansoddiad yn erbyn israniad’ wedi arwain at drafodaethau ar fodelu niwrosystemau, a systemau hierarchaidd mwy cyffredinol mewn bioleg a biogyfrifiadura. Roedd cyd-destunau athronyddol/seicolegol lle digwyddodd problemau haniaethu a mireinio cysyniadau hefyd yn adlewyrchu’n eithaf agos y rhai a geir mewn mathemateg. Arweiniodd y trafodaethau hyn at gydweithio ag ymchwilwyr ar fiogyfrifiadura a bioleg gyfrifiadurol.

Drwy gydol ei oes fel mathemategydd ymchwil, gwasanaethodd Ronnie mewn rolau golygyddol ar gyfer cyfnodolion rhyngwladol. O 1975 i 1994, roedd ar y bwrdd cynghori golygyddol ar gyfer Cymdeithas Fathemategol Llundain. Roedd yn aelod sefydlol o fwrdd golygyddol Theory and Applications of Categories, yna ar fwrdd golygyddol Applied Categorical Structures. Ym 1999, helpodd i sefydlu’r cyfnodolyn electronig, Homology, Homotopy and Applications ac yna, o 2006, roedd yn olygydd ar gyfer y Journal of Homotopy and Related Structures. Yn 2016, cysegrwyd cyfrol arbennig o’r cyfnodolyn hwnnw iddo ef a’i waith ar achlysur ei ben-blwydd yn 80 oed.

Ymddeolodd Ronnie o addysgu llawn amser yn 1999, er iddo barhau fel athro ymchwil rhan amser tan 2001. Yn 2016, etholwyd Ronnie i Gymrodoriaeth Cymdeithas Ddysgedig Cymru ac roedd yn aelod gydol oes o Gymdeithas Fathemategol Llundain.

Erbyn tua 1998, roedd Ronnie wedi mynd yn drwm ei glyw ar un ochr, ac yn ystod ymweliad â Bielefeld i drafod gyda Tony Bak, collodd ei gydbwysedd yn ddifrifol. Ar ôl dychwelyd i Ogledd Cymru, cafodd ddiagnosis o niwroma acwstig, sef tyfiant nad yw’n ganser sy’n gorchuddio’r nerf acwstig. Cafodd driniaeth am hyn ym mis Chwefror 2000, ac am gyfnod roedd yn teimlo ychydig yn well. Yna dechreuodd ddioddef o sgîl-effeithiau triniaeth y niwroma. Cafodd y rhain eu trin yn llwyddiannus yn 2001, ac fe wellodd yn raddol a pharhaodd i weithio ar ei brosiectau ymchwil.

Er bod ganddo ef a Margaret wyth o blant, drwy gydol ei oes roedd wedi dod o hyd i amser i chwarae tenis bwrdd yn gyntaf, yna sboncen yn ddiweddarach ac i fynd i nofio, yn y môr ac yn llynnoedd Gogledd Cymru. Treuliodd amser hefyd yn garddio, yn gwneud cwrw cartref, yn chwilio am fadarch yn eu tymor, ac yn archwilio’r rhanbarth gyda’r plant pan oeddent yn ifanc.

Ar ei ymddeoliad, roedd ef a Margaret wedi symud o Ynys Môn i Ddeganwy, yn dal yng Ngogledd Cymru, ac i dŷ gyda golygfa hardd tua’r gorllewin ar hyd yr arfordir. Roedd ganddynt fwthyn bach hefyd ar gyfer aduniadau teuluol, ac aethant ar sawl mordaith i Fôr y Canoldir, gan gynnwys un lle cafodd ei berswadio i esbonio rhai agweddau ar fathemateg Roegaidd! Cymerodd y ddau ran mewn llawer o fywyd diwylliannol yr ardal.

Bu farw gwraig Ronnie, Margaret, yn 2020, ac roedd symudedd Ronnie wedi lleihau ar ôl strôc. Gofalwyd amdano gan eu mab hynaf, ac roedd yn mwynhau teithiau gan ddefnyddio sgwter symudedd, yn cynnwys gweld morloi mewn cilfach taith fer mewn car o’u cartref, ymweld â gwarchodfa natur Conwy neu’r gerddi ym Modnant, ychydig bellter i’r de ar hyd dyffryn Conwy. Ar ôl un o’r ymweliadau i weld y morloi y bu farw’n dawel, ond yn sydyn, gartref yn Neganwy, yn 89 oed. Bydd ei saith o blant sy’n weddill, a’i wyrion, yn ei golli.

Efallai y dylid gadael y gair olaf i’w blant a ddywedodd y byddai eu tad, ar deithiau, yn gwyro oddi ar y prif ffyrdd i “gymryd y llwybr golygfaol” – ac weithiau’n mynd ar goll yn y broses. Ond ei agwedd at fywyd oedd bob amser “cymryd y llwybr golygfaol”. Treiddiodd y cariad hwnnw at archwilio syniadau neu leoedd er eu mwyn eu hunain i’w fywyd o ran ei yrfa ymchwil a’r addysgu yr oedd yn ei garu.

Tim Porter, CCDdC, Mai 2025